Memfaktorkan dan Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

Tahukah anda tentang persamaan kuadrat? Salah satu topik tentang aljabar yang mulai diajarkan pada siswa SMP kelas VIII. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum (baku) yaitu

Persamaan kudrat sangat sering dipakai dalam matematika analitik. Salah satu masalah yang paling sering muncul yaitu bagaimana cara memfaktorkan suatu persamaan kuadrat. Memfaktorkan merupakan salah satu metode untuk menemukan solusi dari persamaan kuadrat. Untuk bisa mendapatkan solusi atau himpunan penyelesaian dari suatu persamaan kuadrat maka proses pemfaktoran harus dilewati. Kecuali jika menggunakan rumus secara langsung. Bagaimana cara memfaktorkan persamaan kuadrat? Adakah cara cepat memfaktorkan persamaan kuadrat? Mari kita pelajari bersama!

Perlu diperhatikan jika pada jenjang SMP masalah yangn muncul hanyalah memfaktorkan. Menentukan penyelesaian dan nilai x nya baru akan diajarkan pada jenjang SMA kelas X. Akan tetapi tidak ada salahnya melihat dan mempelajari sedikit tentang topik tersebut.

Cara/Metode 1 (Formal)

Cara pertama atau metode pertama untuk memfaktorkan suatu persamaan kuadrat yaitu melalui langkah yang formal yaitu:

Contoh soal 1:

Faktorkanlah dan carilah penyelesaian dari persamaan kuadrat 2x² + 7x + 6 = 0 !

Jawab:

Langkah-langkah memfaktorkan dan menyelesaikan:

Carilah nilai yang mungkin dari perkalian berikut:

Untuk mendapatkan nilai yang memenuhi pertama carilah faktor yang mungkin dari hasil kali ac. Kemudian cek faktor yang mungkin dengan cara menambahkannya. Faktor dengan jumlah yang sama dengan b adalah jawabannya.

Setelah itu, ubah persamaan kuadrat dengan cara memisahkan bagian bx menjadi dua sesuai dengan hasil di atas.

Metode di atas tentu terlalu panjang dan kurang efisien. Pada prosesnya metode ini digunakan untuk mengenalkan konsep dasar pemfaktoran sebelum siswa dikenalkan dengan metode yang lebih cepat. Tujuannya adalah agar siswa tidak kehilangan dasar dari pada konsep pemfaktoran dan penyelesaian persamaan kuadrat.

Cara/Metode 2 (Cara Cepat)

Metode kedua merupakan bagian dari proses metode yang pertama. Hanya saja beberapa langkah atau tahap ditiadakan karena tidak terlalu diperlukan jika tujuannya adalah hanya sekedar memfaktorkan dan menyelesaikan saja tanpa menanamkan konsep dasar pada siswa.

Contoh soal 2:

Carilah nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat 6x² + 13x + 6 = 0 !

Jawab:

Langkah pertama yaitu menentukan nilai yang memenuhi:

Gunakan tabel pemfaktoran untuk menemukan nilai yang memenuhi penjumlahan dan perkalian di atas:

Faktorkan persamaan kuadrat di atas:

Beberapa persamaan kuadrat memiliki bentuk khusus dan cara cepat pemfaktoran sendiri misalnya bentuk:

1.    x² +bx +c (Kasuk persamaan kuadrat dengan a = 1)

Cara memfaktorkannya mirip dengan cara cepat diatas tetapi lebih sederhana. Bagaimana?

Contoh soal 3:

Carilah nilai x yang memenhi persamaan kuadrat x² +5x +6 =0 !

Jawab:

Langkah pertama yaitu menentukan nilai yang memenuhi:

Gunakan tabel pemfaktoran untuk menemukan nilai yang memenuhi penjumlahan dan perkalian di atas:

Faktorkan persamaan kuadrat di atas:

2.    a² x² – c²  (Kasus persamaan kuadrat dengan b = 0)

Contoh soal 4:

Cari nilai x yang memenuhi 4x² – 9 =0 !

Jawab:

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat diatas, kali ini lebih cepat tanpa pemfaktoran.

3.    a² x² + 2abx + b² =0 (Persamaan kuadrat dengan bentuk kuadrat sempurna)

Untuk memfaktorkan persamaan kuadrat sempurna mirip dengan kasus nomor dua. Pemfaktoran akan menjadi

Sekian artikel tentang memfaktoran dan menyelesakan persamaan kuadrat. Jika ada pertanyaan silahkan tuliskan pada kolom komentar.

Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Perhatikan bentuk kuadrat sempurna (x - 3) = 10. Bentuk ini bisa diuraikan dengan mengkuadratkan ruas kiri menjadi x - 6x + 9 = 10, sehingga terbentuk persamaan kuadrat x - 6x - 1 = 0.
Dengan membalik proses penguraian bentuk kuadrat tadi, kita mendapatkan sebuah metode untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat. Metode ini dinamakan melengkapkan kuadrat sempurna. Metode ini biasanya digunakan untuk persamaan kuadrat yang sulit difaktorkan. Sebagai alternatif lain, bisa digunakan rumus abc.
Jika proses penguraian tadi dibalik, maka diperoleh skema sebagai berikut.
x - 6x - 1 = 0
x - 6x = 1
x - 6x + 9 = 1 + 9
(x - 3) = 10
Hal yang perlu kita perhatikan adalah angka yang ditambahkan pada kedua ruas di baris ketiga, yaitu 9. Angka 9 ini merupakan setengah dari koefisien x yang dikuadratkan. Koefisien x dari persamaan kuadrat di atas adalah -6, sehingga (-6/2)² = (-3)² = 9.
Secara umum, langkah-langkah menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna adalah sebagai berikut.

1. Untuk memudahkan dalam melengkapkan bentuk kuadrat, koefisien x² sebaiknya 1. Jika tidak sama dengan 1, bagi persamaan kuadrat dengan koefisien x² tersebut.
2. Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
3. Tambahkan kedua ruas dengan kuadrat dari setengah koefisien x.
4. Sederhanakan ruas kanan dan ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna.
5. Akarkan kedua ruas kemudian cari nilai x1 dan x2.

Soal No. 1
Carilah akar-akar persamaan kuadrat 4x - 8x - 5 = 0.

Pembahasan
Bagi persamaan kuadrat dengan koefisien x², yaitu 4.
x² - 2x - 5/4 = 0
Pindahkan konstanta ke ruas kanan.
x² - 2x = 5/4
Tambahkan kedua rus dengan kuadrat dari setengah koefisien x, yaitu (-2/2)² = (-1)² = 1.
x² - 2x + 1 = 5/4 + 1
Ubah ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna dan sederhanakan ruas kanan.
(x - 1)² = 9/4
Akarkan kedua ruas.
x - 1 = ± √(9/4) = ± 3/2
x = 1 ± 3/2
Cari nilai x1 dan x2.
x1 = 1 + 3/2 = 5/2
x2 = 1 - 3/2 = -1/2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-1/2, 5/2}.

Soal No. 2
Carilah akar-akar persamaan kuadrat x² - 8x + 7 = 0.

Pembahasan
x² - 8x + 7 = 0
x² - 8x = - 7
x² - 8x + 16 = -7 + 16
(x - 4)² = 9
x - 4 = ± √9
x - 4 = ± 3
x = 4 ± 3
x1 = 4 + 3 = 7
x2 = 4 - 3 = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {1, 7}.

Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Metode Kuadrat Sempurna

Materinya, Silahkan Buka disini !!!