Cara Menentukan Persamaan dari Grafik Fungsi Kuadrat

Kali sebelumnya kita menggambar grafik atau parabola fungsi kuadrat berdasarkan sebuah persamaan, namun kali ini kebalikannya dari hal tersebut, yaitu menentukan persamaan dari grafik fungsi kuadrat. Tapi jangan khawatir teman-teman karena saya akan menjelaskan cara caranya secara detail, sehingga kalian bisa faham dan bisa menentukan persamaan dari grafik fungsi kuadrat.

Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dicari jika kondisi - kondisi dibawah ini diketahui :

1. Grafik memotong sumbu x di ( x₁, 0 ) dan ( x₂, 0 ) serta melalui titik sembarang ( x₃, y₃ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( x - x₁ )( x - x₂).
2. Grafik mempunyai titik balik ( x_p, y_p ) serta melalui titik sembarang ( x₁, y₁ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x - x_p)² + y_p
3. Grafik melalui tiga buah titik yaitu ( x₁, y₁ ), ( x₂, y₂ ) dan ( x₃, y₃), maka persamaannya adalah y = ax² + bx + c.

Contoh soal 1 :

Tentukan persamaan dari grafik fungsi di bawah ini :

Jawab : 

Keadaan grafik seperti ini bisa didapatkan persamaannya karena sesuai dengan syarat nomor 1, yaitu "Grafik memotong sumbu x di ( x₁, 0 ) dan ( x₂, 0 ) serta melalui titik sembarang ( x₃, y₃ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( x - x₁ )( x - x₂)".

Grafik di atas mempotong sumbu ( -2, 0 ) ( 3, 0 ) dan melalui titik ( 1, 6 ) pada grafik, maka persamaannya adalah :

y = a( x - x₁ )( x - x₂)

6 = a( 1 - (-2))( 1 - 3) 

6 = a( 1 + 2 )( 1 - 3)

6 = a(3)(-2)

6 = -6a

a = 6/-6

a = -1

Kemudian substitusikan a ke y = a( x - (-2))( x - 3), maka :

y = -1( x - (-2))( x - 3)

y = -1(x²- 3x + 2x -6 )

y = -1(x²- x - 6 )

y = -x² + x + 6

Jadi persamaan grafik di atas adalah  y = -x² + x + 6

Contoh soal 2 :

Tentukan persamaan grafik yang mempunyai titik balik di titik ( 1, -1 ) serta melalui ( 2, 3 )!!!

Jawab :

Keadaan grafik seperti ini bisa didapatkan persamaannya karena sesuai dengan syarat nomor 2, yaitu "Grafik mempunyai titik balik ( x_p, y_p ) serta melalui titik sembarang ( x₁, y₁ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x - x_p)² + y_p".

Grafik mempunyai titik balik ( 1, -1 ) serta melalui titik ( 2, 3), maka persamaannya adalah :

y = a(x - x_p)² + y_p

3 = a( 2 -  1)² + (-1)

3 = a(1)² + (-1)

3 = a - 1

a = 4

Kemudian substitusikan a ke y = a( x-  1)² + (-1), maka :

y = a( x - 1)² + (-1)

y = 4( x - 1)² + (-1)

y = 4( x² - 2x + 1) + (-1) 

y = 4x² - 8x + 4 -1

y = 4x² - 8x + 3

Maka persamaan dari grafik yang mempunyai titik balik ( 1, -1 ) serta melalui titik ( 2, 3 ) adalah y = 4x² - 8x + 3

Contoh soal 3 :

Tentukan persamaan dari grafik fungsi di bawah ini :

 Jawab :

Keadaan grafik seperti ini bisa didapatkan persamaannya karena sesuai dengan syarat nomor 3, yaitu "Grafik melalui tiga buah titik yaitu ( x₁, y₁ ), ( x₂, y₂ ) dan ( x₃, y₃), maka persamaannya adalah y = ax² + bx + c". 

Grafik fungsi di atas melalui tiga buah titik yaitu (-1, 3), (1, -3), dan (4, 0), maka persamaannya adalah :

y = ax² + bx + c

Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke persamaan  y = ax² + bx + c, maka :

1. titik (-1, 3) : 3 = a(-1)² + b(-1) + c
   3 = a - b + c ...... 1)
2. titik (1, -3) : -3 = a(1)² + b(1) + c
   -3 = a + b + c ..... 2)
3. titik (4, 0) : 0 = a(4)² + b(4) + c
   0 = 16a + 4b + c........3)

Kemudian kita eliminasi persamaan 1) dan persamaan 2), maka didapat :

a - b + c = 3

a + b + c = -3 (-)

-2b = 6

b = 6/(-2)

b = -3

Kemudian kita eliminasi lagi persamaan 1) dan persamaan 3), maka di dapat :

16a + 4b + c = 0 

    a  -   b + c = 3 (-)

 15a + 5b = -3

Kemudian kita substitusikan b = -3 ke  15a + 5b = -3, maka :

15a + 5(-3) = -3

15a -15= -3

15a = -3 + 15

15a = 12

a = 12/15

a = 4/5

Kemudian substitusikan a = 4/5 dan b = -3 ke persamaan 1) yaitu a - b + c = 3, maka :

(4/5) - (-3) + c = 3

(4/5) + 3 + c = 3

c = 3 - 4/5 - 3

c = -4/5 

dan terakhir substitusikan a = 4/5, b = -3, dan c = -4/5 ke persamaan y = ax² + bx + c, maka :

y = (4/5)x² + (-3)x +(-4/5 )

y = 4/5x² - 3x - 4/5

Jadi persamaan grafik di atas adalah  y = 4/5x² - 3x - 4/5

Kesimpulan

Jadi cara untuk menentukan persamaan dari sebuah grafik fungsi itu bisa dengan salah satu dari ketiga rumus ini, diantaranya :

1. y = a( x - x₁ )( x - x₂)
2. y = a(x - x_p)² + y_p
3. y = ax² + bx + c

Namun salah satu rumus tersebut bisa digunakan dengan syarat :

1. Grafik memotong sumbu x di ( x₁, 0 ) dan ( x₂, 0 ) serta melalui titik sembarang ( x₃, y₃ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( x - x₁ )( x - x₂).
2. Grafik mempunyai titik balik ( x_p, y_p ) serta melalui titik sembarang ( x₁, y₁ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x - x_p)² + y_p.
3. Grafik melalui tiga buah titik yaitu ( x₁, y₁ ), ( x₂, y₂ ) dan ( x₃, y₃), maka persamaannya adalah y = ax² + bx + c.

Sumber:

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/09/cara-menentukan-persamaan-dari-grafik-fungsi-kuadrat.html