FUNGSI KUADRAT dan GRAFIKNYA

Langkah2 menggambar grafik y = ax² + bx +c adalah sebagai berikut :

1. Titik potong sumbu x, y = 0

2. Titik potong sumbu y, x = 0

3. Persamaan sumbu simetri -b/2a

4. Menentukan nilai maksimum dan minimum b²- 4ac/-4a

5. Koordinat titik puncak (ekstrim) {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)}

=> Apabila dari langkah 1 - 5 belum terbentuk sketsa parabola maka ambillah titik bantu yaitu nilai x di sekitar persamaan sumbu simetri. 

Contoh Soal :

1. Gambarlah graik fungsi kuadrat y = x² - 4x - 5

    Jawaban : 

    a. Titik potong sumbu x, y = 0.

         y = x² - 4x - 5       =>       0 = (x - 5) (x + 1) , x = -1 , 5

         0 = x² - 4x - 5                   Titik potong sumbu x (-1,0) dan (5,0)

    b. Titik potong sumbu y, x = 0.

         y = x² - 4x - 5                                                                                         Gambar Grafik

         y = (0)² - 4(0) - 5

         y = -5

        maka titk potong sumbu y adalah (0,-5)

    c. Persamaan sumbu simetri -b/2a

        = -(-4)/2.1

        = 2

    d. Nilai maks/min b²- 4ac /-4a

        = {(-4)² - 4.1.(-5)} / -4(1)

        = 36/-4

        = -9

    e. Titik puncak {(-b/2a),(b²- 4ac/-4a)} 

        = (2,-9)

Membentuk Fungsi Kuadrat
 1. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui 3 buah titik.
    menggunakan  y = ax² + bx +c

    Contoh Soal  :    
    * Tentukan fungsi kuadrat grafiknya mel. 3 buah titik (-1,0), (2,-9) dan (4,-5)

       Jawaban :

       melalui (-1,0) => y = a(-1)² + b(-1) + c

                                      0 = a - b + c              ... (1)

       melalui (2,-9) => y = a(2)² + b(2) + c

                                     -9 = 4a + 2b + c        ... (2)

       melalui (4,-5) => y = a(4)² + b(4) + c

                                     -5 = 16a + 4b + c     ... (3)

       Dari (1) - (2) => -3a - 3b = 9               ... (4)

       Dari (2) - (3) => -12a - 2b = -4           ... (5)

       Dari (4) x 4   => -12a - 12b = 36        ... (4)'

       Dari (5) - (4)' => 10b = -40

                                          b = -4

       Substitusikan b = -4 ke (4)

                    maka => -3a + 12 = 9

                                              -3a = -3

                                                  a = 1

      Substitusikan a = 1 dan b = -4

                    maka => 1 - (-4) + c = 0

                                               5 + c = 0

                                                      c = -5

      Sehingga fungsi kuadratnya => y = x² - 4x - 5

2. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak diketahui.

    menggunakan y = a(x - p)² + q titik puncak (p,q)
    Contoh Soal :
    * Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (2,-9)
        serta melalui titik (-1,0)
    Jawaban : 
    y = a(x - p)² + q
       = a(x - 2)² - 9
   melalui (-1,0) => y = a(x - 2)² - 9
                                 0 = a(-1 - 2)² - 9
                                 9 = 9a
                                 a = 1
   Jadi, fungsi kuadratnya => y = 1(x - 2)² - 9
                                                       = (x² - 4x + 4) - 9
                                                       = x² - 4x - 5

3. Menentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mmotong sumbu x di titik (p,0) dan (q,0)

    menggunakan y = a(x - p) (x - q)
    Contoh Soal :
    * Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu x di titik (-1,0) dan (5,0).
        serta melalui (4,-5)
    Jawaban :
    y = a(x - p) (x - q)
       = a{x -(-1)}(x - 5)
       = a(x + 1) (x - 5) 
   kerna melalui (4,-5) maka
   -5 = a(4 + 1) (4 - 5)
   -5 = -5a
    a = 1
   Jadi, fungsi kuadratnya : y = 1(x + 1) (x - 5)
                                                   = x² - 4x - 5

Sumber:
http://lucudankyut.blogspot.com/2011/12/fungsi-kuadrat-dan-grafiknya.html 

Cara Menentukan Persamaan dari Grafik Fungsi Kuadrat

Kali sebelumnya kita menggambar grafik atau parabola fungsi kuadrat berdasarkan sebuah persamaan, namun kali ini kebalikannya dari hal tersebut, yaitu menentukan persamaan dari grafik fungsi kuadrat. Tapi jangan khawatir teman-teman karena saya akan menjelaskan cara caranya secara detail, sehingga kalian bisa faham dan bisa menentukan persamaan dari grafik fungsi kuadrat.

Persamaan grafik fungsi kuadrat dapat dicari jika kondisi - kondisi dibawah ini diketahui :

1. Grafik memotong sumbu x di ( x₁, 0 ) dan ( x₂, 0 ) serta melalui titik sembarang ( x₃, y₃ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( x - x₁ )( x - x₂).
2. Grafik mempunyai titik balik ( x_p, y_p ) serta melalui titik sembarang ( x₁, y₁ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x - x_p)² + y_p
3. Grafik melalui tiga buah titik yaitu ( x₁, y₁ ), ( x₂, y₂ ) dan ( x₃, y₃), maka persamaannya adalah y = ax² + bx + c.

Contoh soal 1 :

Tentukan persamaan dari grafik fungsi di bawah ini :

Jawab : 

Keadaan grafik seperti ini bisa didapatkan persamaannya karena sesuai dengan syarat nomor 1, yaitu "Grafik memotong sumbu x di ( x₁, 0 ) dan ( x₂, 0 ) serta melalui titik sembarang ( x₃, y₃ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( x - x₁ )( x - x₂)".

Grafik di atas mempotong sumbu ( -2, 0 ) ( 3, 0 ) dan melalui titik ( 1, 6 ) pada grafik, maka persamaannya adalah :

y = a( x - x₁ )( x - x₂)

6 = a( 1 - (-2))( 1 - 3) 

6 = a( 1 + 2 )( 1 - 3)

6 = a(3)(-2)

6 = -6a

a = 6/-6

a = -1

Kemudian substitusikan a ke y = a( x - (-2))( x - 3), maka :

y = -1( x - (-2))( x - 3)

y = -1(x²- 3x + 2x -6 )

y = -1(x²- x - 6 )

y = -x² + x + 6

Jadi persamaan grafik di atas adalah  y = -x² + x + 6

Contoh soal 2 :

Tentukan persamaan grafik yang mempunyai titik balik di titik ( 1, -1 ) serta melalui ( 2, 3 )!!!

Jawab :

Keadaan grafik seperti ini bisa didapatkan persamaannya karena sesuai dengan syarat nomor 2, yaitu "Grafik mempunyai titik balik ( x_p, y_p ) serta melalui titik sembarang ( x₁, y₁ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x - x_p)² + y_p".

Grafik mempunyai titik balik ( 1, -1 ) serta melalui titik ( 2, 3), maka persamaannya adalah :

y = a(x - x_p)² + y_p

3 = a( 2 -  1)² + (-1)

3 = a(1)² + (-1)

3 = a - 1

a = 4

Kemudian substitusikan a ke y = a( x-  1)² + (-1), maka :

y = a( x - 1)² + (-1)

y = 4( x - 1)² + (-1)

y = 4( x² - 2x + 1) + (-1) 

y = 4x² - 8x + 4 -1

y = 4x² - 8x + 3

Maka persamaan dari grafik yang mempunyai titik balik ( 1, -1 ) serta melalui titik ( 2, 3 ) adalah y = 4x² - 8x + 3

Contoh soal 3 :

Tentukan persamaan dari grafik fungsi di bawah ini :

 Jawab :

Keadaan grafik seperti ini bisa didapatkan persamaannya karena sesuai dengan syarat nomor 3, yaitu "Grafik melalui tiga buah titik yaitu ( x₁, y₁ ), ( x₂, y₂ ) dan ( x₃, y₃), maka persamaannya adalah y = ax² + bx + c". 

Grafik fungsi di atas melalui tiga buah titik yaitu (-1, 3), (1, -3), dan (4, 0), maka persamaannya adalah :

y = ax² + bx + c

Kita substitusikan ketiga titik tersebut ke persamaan  y = ax² + bx + c, maka :

1. titik (-1, 3) : 3 = a(-1)² + b(-1) + c
   3 = a - b + c ...... 1)
2. titik (1, -3) : -3 = a(1)² + b(1) + c
   -3 = a + b + c ..... 2)
3. titik (4, 0) : 0 = a(4)² + b(4) + c
   0 = 16a + 4b + c........3)

Kemudian kita eliminasi persamaan 1) dan persamaan 2), maka didapat :

a - b + c = 3

a + b + c = -3 (-)

-2b = 6

b = 6/(-2)

b = -3

Kemudian kita eliminasi lagi persamaan 1) dan persamaan 3), maka di dapat :

16a + 4b + c = 0 

    a  -   b + c = 3 (-)

 15a + 5b = -3

Kemudian kita substitusikan b = -3 ke  15a + 5b = -3, maka :

15a + 5(-3) = -3

15a -15= -3

15a = -3 + 15

15a = 12

a = 12/15

a = 4/5

Kemudian substitusikan a = 4/5 dan b = -3 ke persamaan 1) yaitu a - b + c = 3, maka :

(4/5) - (-3) + c = 3

(4/5) + 3 + c = 3

c = 3 - 4/5 - 3

c = -4/5 

dan terakhir substitusikan a = 4/5, b = -3, dan c = -4/5 ke persamaan y = ax² + bx + c, maka :

y = (4/5)x² + (-3)x +(-4/5 )

y = 4/5x² - 3x - 4/5

Jadi persamaan grafik di atas adalah  y = 4/5x² - 3x - 4/5

Kesimpulan

Jadi cara untuk menentukan persamaan dari sebuah grafik fungsi itu bisa dengan salah satu dari ketiga rumus ini, diantaranya :

1. y = a( x - x₁ )( x - x₂)
2. y = a(x - x_p)² + y_p
3. y = ax² + bx + c

Namun salah satu rumus tersebut bisa digunakan dengan syarat :

1. Grafik memotong sumbu x di ( x₁, 0 ) dan ( x₂, 0 ) serta melalui titik sembarang ( x₃, y₃ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a( x - x₁ )( x - x₂).
2. Grafik mempunyai titik balik ( x_p, y_p ) serta melalui titik sembarang ( x₁, y₁ ) pada grafik, maka persamaannya adalah y = a(x - x_p)² + y_p.
3. Grafik melalui tiga buah titik yaitu ( x₁, y₁ ), ( x₂, y₂ ) dan ( x₃, y₃), maka persamaannya adalah y = ax² + bx + c.

Sumber:

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/09/cara-menentukan-persamaan-dari-grafik-fungsi-kuadrat.html

Fungsi Kuadrat

1. Cara Menggambar Parabola F. Kuadrat !!! Silahkan Buka Disini

2. Cara Menentukan Pers. dari Grafik F. Kuadrat!!! Silahkan Buka Disini
3. Fungsi Kuadrat dan Grafiknya!!! Silahkan Buka Disini
4. Cara Menentukan Akar-Akar dar Persamaan Kuadrat terdidiri dari:
    a. Cara Faktorial. Buka disini
    b. Cara Kuadrat Sempurna. Buka disini.
    c. Cara Rumus Segitiga. Buka disini.

Cara Menggambar Parabola Fungsi Kuadrat

1. Materi BLOGSPOT Silahkan Buka Disini
2. .....
3. ......

Cara Menggambar Parabola Fungsi Kuadrat

Dalam fungsi kuadrat ada materi dimana kita harus menggambar Parabola Fungsi Kuadrat atau Grafik Fungsi Kuadrat. Biasa banyak siswa-siswi yang kesulitan untuk menggambar Parabola Fungsi Kuadrat ini atau bahkan mereka sudah malas, karena menurut mereka terlalu sulit. Namun sebanarnya jika kita berfikir secara sistematis akan sangat mudah sekali untuk menggambar Parabola Fungsi Kuadrat dengan sangat mudah. Maksud dari sistematis di sini artinya kalian harus tau langkah-langkah atau urutan-uratan cara untuk membuat Parabola Fungsi Kuadrat atau Grafik Fungsi Kuadrat ini. adapun langkah langkahnya adalah sebagai berikut :

Langkah - Langkah Untuk Menggambar Parabola atau Grafik Fungsi Kuadrat

Bentuk umum fungsi kuadrat adalah : f(x) = ax² + bx + c diamana a, b , c adalah bilangan real dan a tidak sama dengan 0. Grafik fungsi kuadrat berbenruk parabola dengan persamaan y = ax² + bx + c.
Beberapa langkah yang ditempuh untuk menggambar parabola fungsi kuadra, diantaranya :

1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0
2. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0
3. Menentukan sumbuh simetri grafik yaitu dengan rumus x = -b/2a
4. Menentukan koordinat titik balik atau titik puncak (x,y) dengan rumus x = -b/2a dan y = -D/4a, dengan D = b² - 4ac
5. Menentukan grafiknya terbuka kebawah jika a < 0 atau terbuka ke atas jika a > 0

Contoh Soal Menggambar Parabola Fungsi Kuadrat

Gambarlah parabola dari f(x) = x² - 2x - 8 dengan domain bilangan real !!!!!!

Jawab :

Untuk menggambar parabola kita gunakan langkah - langkah yang sudah saya jelaskan tadi di atas :

1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0
   x² - 2x - 8 = 0
   Kemudian kita faktorkan menjadi :
   ( x - 4 ) ( x + 2 ) = 0
   Maka akarnya :
   x - 4  = 0
   x - 4 + 4 = 0 + 4
   x = 4
   atau :
   x + 2 = 0
   x + 2 - 2 = 0 - 2
   x = -2
   Maka titik potong dengan sumbu x adalah ( -2, 0 ) ( 4, 0 ).
   Nilai x = 4 dan x = -2 disebut pembuat nol fungsi, artinya pada x = 4 dan x = -2 fungsi tersebut bernilai nol
2. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0
   y = 0² - 2(0) - 8
   y = -8
   Maka titik potong grafik dengan sumbu y adalah ( 0, - 8 ) 
3. Menentukan sumbuh simetri grafik yaitu dengan rumus x = -b/2a
   pada persamaan f(x) = x² - 2x - 8, di dapat :
   a = 1
   b = -2
   c = -8
   maka kita masukan kedalam rumua x = -b/2a, menjadi :
   x = -(-2)/2(1)
   x = 1
   maka sumbu simetri x = 1 
4. Menentukan koordinat titik balik atau titik puncak (x,y) dengan rumus x = -b/2a dan y = -D/4a, dengan D = b² - 4ac
   Karena a = 1, b = -2, dan c = -8, maka :
   x = -b/2a
   x = -(-2)/2(1)
   x = 1
   dan :
   y = -D/4a
   y = -(b² - 4ac)/4a
   y = -(2² - 4(1)(-8))/4(1)
   y = -(4 + 32)/4
   y = -(36)/4
   y = -36/4
   y = -9
   Maka titik balik atau titik puncaknya adalah (1, -9) 
5. Menentukan grafiknya terbuka kebawah jika a < 0 atau terbuka ke atas jika a > 0
   Karena a = 1 dan artinya a > 0 maka grafik atau parabola pasti terbuka ke atas :

Parabola f(x) = x² - 2x - 8

Kesimpulan

Jadi kesimpulannya untuk menggambar parabola atau grafik fungsi kuadrat ada 5 cara diantarnya adalah :

1. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu x, dengan mengambil y = 0
2. Menentukan titik potong grafik dengan sumbu y, dengan mengambil x = 0
3. Menentukan sumbuh simetri grafik yaitu dengan rumus x = -b/2a
4. Menentukan koordinat titik balik atau titik puncak (x,y) dengan rumus x = -b/2a dan y = -D/4a, dengan D = b² - 4ac
5. Menentukan grafiknya terbuka kebawah jika a < 0 atau terbuka ke atas jika a > 0

Sumber:
https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/09/cara-menggambar-parabola-fungsi-kuadrat.html