1.
Pengertian Himpunan
Himpunan diperkenalkan oleh George Cantor (1845 –
1918), seorang ahli matematika Jerman. Ia menyatakan bahwa himpunan adalah
kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun
kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai
kesamaan sifat/karakter.
Kumpulan dari sebatang pensil, sebuah kursi dan
setangkai bunga membentuk sebuah himpunan. Ketiga benda tersebut berupa benda
kongkret, namun tidak memiliki kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu himpunan
harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat dibedakan
apakah suatu benda termasuk ataupun tidak dalam himpunan tersebut. Sebagai
contoh, kumpulan semua bilangan genap membentuk sebuah himpunan, sebab syarat
keanggotaannya terdefinisi dengan jelas.
Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan
himpunan sebab sifat “pandai” tidak dapat didefinisikan dengan tepat. Akibatnya
tidak dapat ditentukan secara pasti apakah seseorang guru matematika termasuk
dalam himpunan tersebut atau tidak. Kumpulan bunga yang harum juga bukan
merupakan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga bersifat
subjektif, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu
dianggap harum bagi orang lain. Kumpulan lain bukan merupakan himpunan,
misalnya
a.
Kumpulan
makanan enak,
b.
Kumpulan
wanita cantik, dan
c.
Kumpulan
lukisan indah.
Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf
kapital seperti A, B, C, dan X. Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya
dinotasikan dengan huruf kecil seperti a, b, c, x, dan y. Misalnya H adalah
himpunan semua huruf hidup dalam alfabet Latin maka benda-benda yang termasuk
dalam himpunan H adalah a, i, u, e, dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu
himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut. Notasi untuk menyatakan
anggota suatu himpunan adalah “Δ sedangkan notasi untuk bukan anggota adalah “Ï”.
Dengan demikian a Î H, iÎH, u Î H, e Î H, dan o Î H sedangkan b Ï H, c Ï H dan
d Ï H. Istilah anggota yang digunakan di atas dapat diganti dengan istilah elemen
atau unsur.
Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni
dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan.
Cara mendaftar dilakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam tanda
tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh
himpunan H = { a, i, u, e, o } menyatakan himpunan semua huruf hidup dalam
alfabet Latin.
Himpunan X yang anggota-anggotanya memenuhi sifat P
dinotasikan sebagai X = { x | x bersifat P }. Notasi ini disebut
notasi pembentuk himpunan. Contoh dari notasi ini adalah H = { x | x
adalah satu dari lima huruf hidup dalam alfabet Latin}. Tanda garis
tegak “|” dapat diganti dengan tanda garis miring “ / ”, tanda bagi “ : “ atau
tanda titik-koma “ ; “. Dalam buku matematika SMP tanda yang digunakan adalah
tanda tegak “ | ”.
Untuk memperjelas tentang berbagai cara menyatakan
himpunan, perhatikan tiga contoh berikut yang menyatakan himpunan yang sama.
a.
Himpunan
semua bilangan genap positif.
b.
{ 2, 4, 6,
8, … }
c.
{ x | x = 2 n , n adalah bilangan asli}.
Masing-masing cara dalam
menyatakan himpunan mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Misalnya
kelebihan cara mendaftar adalah apabila digunakan untuk himpunan yang sedikit
anggotanya sedangkan kelemahannya adalah apabila digunakan untuk menulis
himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak mungkin didaftar
semuanya. Sebagai contoh
himpunan semua Warga Negara Indonesia tidak efisien bila ditulis dengan cara
mendaftar.
Jenis himpunan dapat dibedakan berdasarkan banyaknya
anggota himpunan tersebut. Himpunan dikatakan berhingga apabila mempunyai m
anggota berbeda, dimana m suatu bilangan cacah. Selain itu
disebut himpunan tak berhingga. Himpunan semua huruf dalam alfabet Latin,
himpunan bilangan prima yang genap, dan himpunan semua bilangan asli kurang
dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga. Sedangkan himpunan
bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termasuk himpunan tak berhingga.
Notasi n(H) digunakan untuk menyatakan bilangan kardinal himpunan H. Notasi
tersebut adakalanya ditulis |H|. Jadi apabila H = {a, i, u, e,o} maka n(H) = 5,
dan bila K = { 0 } maka n(K) = 1.
Misalkan himpunan I = { x | x Î [0, 1] }
dan A adalah himpunan semua bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak
berhingga. Dalam hal ini n(I) = ¥ dan juga n(A) = ¥. Himpunan A merupakan
himpunan terhitung (countable) karena kita dapat mengurutkan satu
persatu anggota-anggotanya. Sedangkan himpunan I merupakan himpunan tak
terhitung (uncountable). Akibatnya penulisan lambang ¥ di atas mempunyai
kelemahan karena belum membedakan himpunan terhitung dan tak terhitung. Seorang
matematikawan, Cantor, memberikan notasi yang lebih baik yakni n(A) = À0
(dibaca aleph-nol) sedangkan n(I) = c. Simbol À (dibaca aleph )
merupakan huruf pertama dalam alfabet Hebrew.
Adakalanya
suatu himpunan tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan seperti ini disebut
sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { } atau simbol Æ. Tanda Æ
merupakan huruf phi dalam alfabet Yunani. Contoh-contoh himpunan kosong adalah:
a.
Himpunan
semua anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3 meter.
b.
Himpunan
semua bilangan ganjil yang habis dibagi 2.
c.
{ x | x2 + 1 = 0, x adalah bilangan bulat}
d.
{ x |
x2 - 9 = 0, 2x - 4 = 0}
e.
{ x |
x ¹ x }
f.
H = { x
| x Ï H}
Tidak ada komentar:
Posting Komentar