Matriks

A.           Pengertian Matriks

Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan dalam tanda kurung biasa ( ), atau kurung siku [ ]. Elemen-elemen atau entri-entri tersebut dapat berupa bilangan atau berupa huruf.

Matriks dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan seterusnya. Sedangkan elemennya jika berupa huruf maka ditulis dengan huruf kecil.

Dalam matriks  dengan i dan j merupakan bilangan bulat yang menunjukkan baris ke-i dan kolom ke-j. Misalnya artinya elemen baris ke-1 dan kolom ke-2.

Contoh :        

Dari matriks A diatas :

a.         Banyaknya baris adalah 4.

b.        Banyaknya kolom adalah 5.

c.         Elemen-elemen baris ke-3 adalah 0, 5, 1,7, -1.

d.        Elemen-elemen baris ke-4 adalah 9, 2, 6, 1, 0.

e.         Elemen-elemen kolom ke-1 adalah -1, 4, 0, 9.

f.         Elemen-elemen kolom ke-4 adalah 7, -3, 7, 1.

g.        Elemen baris ke-2 dan kolom ke-3 atau adalah 9.

h.        Elemen baris ke-3 dan kolom ke-5 atau  adalah -1.

B. Ordo Matriks

Ordo (ukuran) dari matriks adalah banyaknya elemen baris diikuti banyaknya kolom.berarti matriks A berordo m x n, artinya matriks tersebut mempunyai m buah baris dan n buah kolom.

Contoh :

Tentukan ordo dari matriks dibawah ini !

a.                                          b.

Jawab :

a.         Matriks G terdiri dari 2 baris dan 3 kolom, maka matriks G berordo 2 x 3, atau ditulis G_2X3.

b.        Matriks H terdiri dari 1 baris dan 4 kolom, maka matriks H berordo 1 x 4, atau ditulis H_1X4.

C. Jenis - Jenis Matriks

1.        Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya nol.

Contoh :     

2.        Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Contoh :              

3.        Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris

Contoh :  

4.        Matriks Persegi atau Bujur Sangkar

Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

Contoh :        

5.        Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang seluruh elemennya nol kecuali pada diagonal utamanya tidak semuanya nol.

Contoh :  

6.        Matriks Segitiga

Matriks segitiga terdiri atas dua macam yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama seluruhnya nol.

Contoh :    

Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen diatas diagonal utama seluruhnya nol.

Contoh :       

7.        Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu dan elemen lainnya adalah nol.
Contoh :     

D. Transpose Matriks

Transpose matriks A = (a_ij) dengan ordo m x n ditulis A^T = (a_ij) dan mempunyai ordo n x m. Elemen-elemen baris matriks A^T diperoleh dari elemen-elemen kolom matriks A dan sebaliknya.

Contoh :              maka             

E. Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) dari kedua matriks tersebut sama.

Contoh :     

Matriks A = B karena ordo dan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut sama. Sedangkan walaupun elemennya sama tetapi tidak seletak.

Contoh :

Tentukanlah nilai x, y, z, a, b dan c dari kesamaan dua matriks dibawah ini :

          

Jawab :

·           Elemen baris 1 kolom 1 (a₁₁) : 2x = 4

    x = 2

·           Elemen baris 1 kolom 3 (a₁₃) : 2 + x = y

      y = 2 + 2 = 4

·           Elemen baris 2 kolom 1 (a₂₁) : z = 3y

       z = 3.4 = 12

·           Elemen baris 2 kolom 2 (a₂₂) : a + 1 = 4z

a + 1 = 4.12  a = 48 – 1 = 47

·           Elemen baris 3 kolom 1 (a₃₁) : b = a + 5

b = 47 + 5  b = 52

·           Elemen baris 3 kolom 2 (a₃₂) :

Jadi, nilai x = 2, y = 4, z = 12, a = 47, b = 52 dan c = 100.

F. Operasi Matriks

• Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah (selisih) didapat dengan cara menjumlahkan (mengurangkan) elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut.

Contoh :

          A + C tidak dapat dijumlahkan, ordo kedua matriks tersebut tidak sama.

Sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks

Untuk setiap matriks A, B dan C yang berordo sama, berlaku :

a.         A + (B + C) = (A + B) + C sifat assosiatif.

b.        A + B = B + A sifat komutatif.

c.         A(B + C) = AB + AC sifat distributif.

d.        A(B – C) = AB – AC.

e.         A + 0 = 0 + A = A.

f.         Terdapat matriks X sedemikian sehingga A + X = B.

• Perkalian Matriks

1. Perkalian Matriks dengan Skalar (K)

Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan skalar k.

Contoh :

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar.

Untuk setiap skalar k₁ dan k₂ dan untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan AB terdefinisi, maka berlaku :

a.         (k₁ + k₂) A = k₁ A + k₂ A.

b.        (k₁ – k₂) A = k₁ A – k₂ A.

c.         (k₁ k₂) A = k₁ (k₂ A).

d.        k₁ (A B) = (k₁ A) B.

e.         k₁ (A + B) = k₁ A + k₁  B.

f.         k₁ (A – B) = k₁ A  - k₁ B.

2.   Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = A . B yang berordo m x p, didapat dengan cara mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B.

Contoh :

diperoleh dengan cara mengalikan elemen-elemen baris ke-1 matriks sebelah kiri (matriks A) dengan elemen-elemen kolom ke-2 matriks sebelah kanan (matriks B) kemudian menjumlahkannya. Demikian seterusnya untuk mengisi kotak-kotak tersebut.

Contoh :

(sebelah kiri) dengan banyaknya baris matriks kedua (sebelah kanan) tidak sama.

d.        Dari hasil penyelesaian a dan b diatas, ternyata AB   BA. Jadi perkalian tidak komutatif.

Contoh :

Tentukan hasil kali dari matriks-matriks dibawah ini !

G. Determinan Matriks

1. Determinan Matriks Ordo 2

Misal maka determinan A (det(A)) adalah  det(A) = .

Contoh :

Tentukan determinan matriks-matriks berikut :

Contoh :

2.    Determinan Matriks Ordo 3

Misalkan matriks persegi dengan ordo tiga, diberikan dibawah ini
, determinan dari matriks A adalah  Det (A) = . Banyak cara yang dapat digunakan untuk menghitung determinan matriks dengan ordo 3x3, tetapi yang paling banyak digunakan adalah dengan menggunakan aturan Sarrus. Dengan langkah-langkah sebagai berikut :

·           Letakkan kolom pertama dan kedua disebelah kanan garis vertikal dari determinan.

·           Jumlahkan hasil kali unsur-unsur yang terletak pada diagonal utama dengan hasil kali unsur-unsur sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsur-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping.

Perhatikan skema untuk menghitung dengan menggunakan sarrus dibawah ini !

= (a₁₁)(a₂₂)(a₃₃) + (a₁₂)(a₂₃)(a₃₁) + (a₁₃)(a₂₁)(a₃₂) – (a₃₁)(a₂₂)(a₁₃) – (a₃₂)(a₂₃)(a₁₁) – (a₃₂)(a₂₁)(a₁₂)

Contoh :

Tentukan Determinan dari matriks

Jawab :
                      

 = 1.3.3 + 2.4.1 + 3.1.4 – 1.3.3 – 4.4.1 – 3.1.2

 = 9 + 8 + 12 – 9 – 16 – 6

 = 29 – 31 = -2

Contoh :

Determinan matriks   adalah 6, tentukan nilai x !

Jawab :

Det (A) = (x – 1).2.5 + 1.(-4).3x + 3.(-1).2 – 3x.2.3 – 2.(-4).(x-1) - 5.(-1).1

 = (x – 1).10 – 12x – 6 – 18x + 8(x – 1) + 5

 = 10x – 10 - 12x – 6 – 18x + 8x – 8 + 5

 = -12x – 19

Det (A) = 6

-12x – 19 = 6

-12x = 6 + 19


H. Minor, Kofaktor Dan Adjoin

Jika A adalah sebuah matriks persegi, maka minor entri atau elemen a_ij dinyatakan oleh M_ij dan didefinisikan sebagai determinan sub matriks yang tinggal setelah baris ke-i dan kolom ke-j dicoret dari A. Bilangan (-1)^i+j  M_ij dinyatakan oleh C_ij dinamakan kofaktor entri a_ij.

Jika A adalah sembarang matriks persegi (n x n) dan Cij adalah kofaktor a_ij, maka matriks

Disebut matriks kofaktor dari A. Transpose matriks ini disebut adjoin dari A dan dinyatakan dengan Adj (A).

Contoh :

Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin dari!

Jawab :

Minor dari matriks A adalah :

Kofaktor dari matriks A adalah :

C₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = (1) 6 = 6      C₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁ = (-1) 3 = -3

C₁₂ = (-1)¹⁺² M₁₂ = (-1) 2 = -2    C₂₂ =(-1)²⁺² M₂₂ = (1)(-1) =-1

Sedangkan matriks kofaktornya adalah :

Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor, sehingga :

Contoh :

Tentukan minor, kofaktor, matriks kofaktor dan adjoin dari

Kofaktor dari minor-minor tersebut adalah :

C₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = (1)(11) = 11             C₂₃ =(-1)²⁺³ M₂₃ =-1.(-26)=26

C₁₂ = (-1)¹⁺² M₁₂ = (-1)(8) = -8              C₃₁ = (-1)³⁺¹ M₃₁ = (1)(8) = -8

C₁₃ = (-1)¹⁺³ M₁₃ = (1)(3) = 3                 C₃₂ = (-1)³⁺² M₃₂ =-1.(-4) = 4

C₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁ = (-1)(-42) = 42          C₃₃ = (-1)³⁺³ M₃₃ = 1(-4) = -4

C₂₂ = (-1)²⁺² M₂₂ = (1)(-36) = -3

Matriks Kofaktor adalah :

Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari Matriks kofaktor, sehingga :

I. Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama sedemikian sehingga hasil kali AB = BA = I, dengan I matriks identitas maka B adalah invers dari A dan sebaliknya, yaitu B = A^-I atau A = B^-I.

Contoh :

Diketahui . Tunjukkan bahwa kedua matriks tersebut adalah saling invers.

Jawab :

 Karena AB = BA = I, maka B = A^-I dan A = B^-I.

Jika A adalah matriks persegi, maka invers dari matriks A adalah :

Contoh :

Tentukan invers  !

Jawab :

Determinan A (det(A)) adalah det.
Minor dari A adalah :

Kofaktor dari A adalah :

C₁₁ = (-1)¹⁺¹ M₁₁ = d                  C₂₁ = (-1)²⁺¹ M₂₁ = -b

C₁₂ = (-1)¹⁺² M₁₂ = -c                  C₂₂ = (-1)²⁺² M₂₂ = a

Matriks Kofaktor sedangkan matriks adjoin :

Sehingga invers matriks A adalah :

 

Contoh :

Dengan menggunakan hasil terakhir pada contoh diatas, tentukanlah invers dari :

Jawab :

a.      Det (A) = 4.1 – 3.2 = -2 sehingga:

b.        Det (A) = (-2.1.3 + 2.-1.5 + 8.1.8) – (6.1.5 + -2.-1.8 + 3.1.2)

 = (-6 – 10 + 64) – (30 + 16 + 6) = -4

Catatan :

·           Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang nilai determinannya 0, matriks seperti ini disebut Matriks Non Singular. Sedangkan matriks yang harga determinannya = 0 disebut Matriks Singular.

·           Invers suatu matriks jika ada adalah tunggal dan berlaku sifat :

§  (A^-I )^-I = A

§  (A x B)^-I = B^-I  x  A^-I

Contoh :

Manakah yang termasuk matriks singular dan matriks non singular

Jawab :

a.         Det (A) = 2.6 – 3.4 = 12 – 12 = 0, karena determinannya 0 maka disebut matriks singular.

b.        Det (B) = 4.(-5) – (-2).(-10) = -20 – 20 = -40, Karena determinannya tidak 0 maka disebut matriks non singular.

Contoh :

Ternyata dari jawaban a dan b contoh soal diatas, diperoleh kesimpulan (A x B)^-I = B^-I x A^-I.

J. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Sistem persamaan linear dua atau tiga variabel selain dengan menggunakan eliminasi dan substitusi dapat juga digunakan invers dan kaidah Creamer untuk mencari himpunan penyelesaiannya.

Beberapa langkah yang perlu diperhatikan untuk mencari himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan invers, adalah :

·           Tulislah sistem persamaan dalam bentuk matriks.

·           Nyatakan bentuk tersebut kedalam perkalian matriks koefisien dengan matriks variabelnya.

·           Kalikan kedua ruas dengan invers A atau A^-I, Sehingga menjadi :

A^-I A X = A^-I C

I X = A^-I C

X = A^-I C

Untuk persamaan yang berbentuk XA = C, maka untuk mendapatkan X kalikan kedua ruas dengan A^-I dari sebelah kanan, sehingga dapat :

XA A^-I = C A^-I

X I = C A^-I

X = C A^-I

Contoh :

Tentukan nilai x dan y dari sistem persamaan :

5x + 3y = 4

3x + 2y = 3

Jawab :

Sistem persamaanjika dibuat dalam bentuk matriks menjadi :

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah . Disamping menggunakan cara invers dapat pula penyelesaian sistem persamaan linear dicari dengan menggunakan Kaidah Creamer .

Jika AX = C adalah sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui sehingga det , maka sistem tersebut mempunyai penyelesaian yang unik (tunggal). Penyelesaian tersebut adalahdimana A_j adalah matriks yang didapat dengan cara mengganti entri-entri didalam koloMke-j dari A dengan entri-entri didalam matriks.

Contoh :

Gunakan kaidah Creamer untuk mencari himpunan penyelesaian sistem berikut ini!

3x – 4y = -5

2x + y = 4

Jawab :

Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan adalah {(1,2)}.

Contoh :

Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan dengan menggunakan Kaidah Creamer !

x + 2z = 7

-3x + 4y + 6z = 7

-x – 2y + 3z = 12

Jawab :

Bentuk perkalian matriks sistem persamaan tersebut adalah :

Contoh :

Tentukanlah matriks P dari persamaan matriks dibawah ini :

Jawab :

Dari persamaan P = B . A^-I, Diperoleh banyaknya kolom matriks B tidak sama dengan banyaknya baris matriks A^-I . Sehingga B . A^-I tidak dapat diselesaikan. Oleh karena itu tidak ada matriks P dari persamaan matriks diatas.