Determinan Matriks Metode Sarrus dan Metode Ekspansi Laplace/Ekspansi Kofaktor

Ada dua macam cara menghitung matriks ordo 3×3. Satu yang paling terkenal adalah metode Sarrus dan satunya lagi adalah metode Ekspansi Laplace. Metode kedua ini jarang diketahui mahasiswa. Oleh karena itu saya akan membahasnya disini.
1. Metode Sarrus
Misalkan Misalkan A=⎡⎣⎢adgbehcfi⎤⎦⎥, tuliskan kembali elemen kolom pertama dan kedua di sebelah kanan matrix A seperti berikut

Kalikan elemennya secara diagonal, pertama kalikan searah sejajar dengan diagonal utama. Ada tiga hasil perkaliannya yaitu aei, bfg, dan cdh , ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda positif.

Kedua, kalikan searah dengan sejajar diagonal samping. Ada tiga hasil perkaliannya yaitu gec, hfa, dan idb, ketiga hasil perkalian elemen matriks ini bertanda negatif.

Determinannya adalah jumlah semua hasil perkalian bertandanya yakni:

detA==(aei)+(bfg)+(cdh)+(−gec)+(−hfa)+(−idb)(aei+bfg+cdh)−(gec+hfa+idb)

Catatan: Metode ini hanya bisa digunakan untuk matriks ordo 3×3

2. Metode Ekspansi Laplace

Metode ini menggunakan bantuan determinan matriks 2×2 yang terbentuk dari pencoretan baris ke i dan kolom ke j. Kita dapat memilih akan mengekspansi ke arah mana yang kita mau, bisa searah baris ke i bisa juga searah kolom ke j. Contohnya dengan matriks A yang sama dengan contoh di atas dan kita ekspansi searah dengan baris 1.

Yang dicoret adalah baris 1 dan kolom 1, maka didapatkan sebuah bilangan baru dengan tanda positif dengan cara mengalikan elemen pada baris 1 dan kolom 1 dengan determinan matriks sisa pencoretan yaitu

a∣∣∣ehfi∣∣∣

Berikutnya kita coret baris 1 kolom ke 2

Yang dicoret adalah baris 1 dan kolom 2, maka didapatkan sebuah bilangan baru dengan tanda negatif dengan cara mengalikan elemen pada baris 1 dan kolom 2 dengan determinan matriks sisa pencoretan yaitu

−b∣∣∣dgfi∣∣∣

Berikutnya kita coret baris 1 kolom ke 3

Yang dicoret adalah baris 1 dan kolom 3, maka didapatkan sebuah bilangan baru dengan tanda positif dengan cara mengalikan elemen pada baris 1 dan kolom 3 dengan determinan matriks sisa pencoretan yaitu

c∣∣∣dgeh∣∣∣

Selesai. Untuk menghitung nilai determinannya tinggal menjumlahkan ketiga bilangan tersebut yaitu

detA=a∣∣∣ehfi∣∣∣−b∣∣∣dgfi∣∣∣+c∣∣∣dgeh∣∣∣

Untuk aturan tanda positif negatifnya seperti berikut

⎡⎣⎢+ − + − + − + − + ⎤⎦⎥

Contoh: hitung determinan matriks B=⎡⎣⎢1−323−44−573⎤⎦⎥ dengan ekspansi searah kolom ke 3

Solusi:

Coret baris 1 kolom 3 didapatkan bilangan

−5∣∣∣−32−44∣∣∣=−5⋅−4=20

Coret baris 2 kolom 3 didapatkan bilangan

−7∣∣∣1234∣∣∣=−7⋅−2=14

Coret baris 3 kolom 3 didapatkan bilangan

3∣∣∣1−33−4∣∣∣=3⋅5=15

Jumlahkan semuanya bilangan yang didapatkan sehingga

detB=20+14+15=49

Catatan :
Metode ini bisa digunakan pada semua matriks persegi dan mudah ketika terdapat banyak bilangan 0 pada baris atau kolom yang diekspansi.