"Ali TtphS Blog Ilmu Pengetahuan": Matriks (1)

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah suatu susunan elemen-elemen atau entri-entri yang berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom. Susunan elemen ini diletakkan dalam tanda kurung biasa ( ), atau kurung siku [ ]. Elemen-elemen atau entri-entri tersebut dapat berupa bilangan atau berupa huruf.

Matriks dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B, C dan seterusnya. Sedangkan elemennya jika berupa huruf, maka ditulis dengan huruf kecil.

Dalam matriks

dengan i dan j merupakan bilangan bulat yang menunjukkan baris ke-i dan kolom ke-j. Misalnya

artinya elemen baris ke-1 dan kolom ke-2.

Contoh :

Dari matriks A diatas :

a. Banyaknya baris adalah 4.

b. Banyaknya kolom adalah 5.

c. Elemen-elemen baris ke-3 adalah 0, 5, 1,7, -1.

d. Elemen-elemen baris ke-4 adalah 9, 2, 6, 1, 0.

e. Elemen-elemen kolom ke-1 adalah -1, 4, 0, 9.

f. Elemen-elemen kolom ke-4 adalah 7, -3, 7, 1.

g. Elemen baris ke-2 dan kolom ke-3 atau

adalah 9.

h. Elemen baris ke-3 dan kolom ke-5 atau

adalah -1

B. Ordo Matriks

Ordo (ukuran) dari matriks adalah banyaknya elemen baris diikuti banyaknya kolom.

berarti matriks A berordo m x n, artinya matriks tersebut mempunyai m buah baris dan n buah kolom.

Contoh :

Tentukan ordo dari matriks dibawah ini !

Jawab :

a. Matriks G terdiri dari 2 baris dan 3 kolom, maka matriks G berordo 2 x 3, atau ditulis G_2X3.

b. Matriks H terdiri dari 1 baris dan 4 kolom, maka matriks H berordo 1 x 4, atau ditulis H_1X4.
C. Jenis - Jenis Matriks

1. Matriks Nol

Matriks nol adalah matriks yang seluruh elemennya nol.

Contoh :

2. Matriks Kolom

Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom.

Contoh :

3. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris

Contoh :

4. Matriks Persegi atau Bujur Sangkar

Matriks persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

Contoh :

5. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang seluruh elemennya nol kecuali pada diagonal utamanya tidak semuanya nol.

Contoh :

6. Matriks Segitiga

Matriks segitiga terdiri atas dua macam yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah.

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen dibawah diagonal utama seluruhnya nol.

Contoh :

Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen diatas diagonal utama seluruhnya nol.

Contoh :

7. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks yang semua elemen pada diagonal utamanya adalah satu dan elemen lainnya adalah nol.
Contoh :

D. Transpose Matriks

Transpose matriks A = (a_ij) dengan ordo m x n ditulis A^T= (a_ij) dan mempunyai ordo n x m. Elemen-elemen baris matriks A^T diperoleh dari elemen-elemen kolom matriks A dan sebaliknya.

Contoh :

maka

E. Kesamaan Dua Matriks

Dua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama dan elemen-elemen yang seletak (bersesuaian) dari kedua matriks tersebut sama.

Contoh :

Matriks A = B karena ordo dan elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut sama. Sedangkan

walaupun elemennya sama tetapi tidak seletak.

Contoh :

Tentukanlah nilai x, y, z, a, b dan c dari kesamaan dua matriks dibawah ini :

Jawab :

· Elemen baris 1 kolom 1 (a₁₁) : 2x = 4

x = 2

· Elemen baris 1 kolom 3 (a₁₃) : 2 + x = y

y = 2 + 2 = 4

· Elemen baris 2 kolom 1 (a₂₁) : z = 3y

z = 3.4 = 12

· Elemen baris 2 kolom 2 (a₂₂) : a + 1 = 4z

a + 1 = 4.12 a = 48 – 1 = 47

· Elemen baris 3 kolom 1 (a₃₁) : b = a + 5

b = 47 + 5 b = 52

· Elemen baris 3 kolom 2 (a₃₂) :

Jadi, nilai x = 2, y = 4, z = 12, a = 47, b = 52 dan c = 100.

F. Operasi Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Dua matriks A dan B dapat dijumlahkan atau digunakan operasi pengurangan bila ordo (baris x kolom) kedua matriks tersebut sama. Hasil jumlah (selisih) didapat dengan cara menjumlahkan (mengurangkan) elemen-elemen yang seletak dari kedua matriks tersebut.

Contoh :

A + C tidak dapat dijumlahkan, ordo kedua matriks tersebut tidak sama.

Sifat-sifat operasi penjumlahan dan pengurangan pada matriks

Untuk setiap matriks A, B dan C yang berordo sama, berlaku :

a. A + (B + C) = (A + B) + C sifat assosiatif.

b. A + B = B + A sifat komutatif.

c. A(B + C) = AB + AC sifat distributif.

d. A(B – C) = AB – AC.

e. A + 0 = 0 + A = A.

f. Terdapat matriks X sedemikian sehingga A + X = B.

Perkalian Matriks

1. Perkalian Matriks dengan Skalar (K)

Misalkan k sebuah skalar dan A sebuah matriks maka kA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikan setiap elemen (entri) matriks A dengan skalar k.

Contoh :

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar.

Untuk setiap skalar k₁dan k₂dan untuk setiap matriks A dan B yang berordo sama dan AB terdefinisi, maka berlaku :

a. (k₁ + k₂) A = k₁ A + k₂ A.

b. (k₁ – k₂) A = k₁A – k₂A.

c. (k₁ k₂) A = k₁(k₂ A).

d. k₁ (A B) = (k₁ A) B.

e. k₁ (A + B) = k₁A + k₁ B.

f. k₁ (A – B) = k₁ A - k₁ B.

2. Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua matriks A dengan ordo m x n dan matriks B dengan ordo n x p, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = A . B yang berordo m x p, didapat dengan cara mengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks B.

Contoh :

diperoleh dengan cara mengalikan elemen-elemen baris ke-1 matriks sebelah kiri (matriks A) dengan elemen-elemen kolom ke-2 matriks sebelah kanan (matriks B) kemudian menjumlahkannya. Demikian seterusnya untuk mengisi kotak-kotak tersebut.