Operasi Terhadap Himpunan

Kita dapat melakukan operasi terhadap dua buah himpunan atau lebih untuk menghasilkan himpunan lain. Jenis operasi yang dapat digunakan terhadap himpunan adalah operasi irisan (intersection), gabungan (union), selisih (difference), komplemen (complement), beda-setangkup (symmetric difference) dan perkalian kartesian (cartesian product). Masing-masing dari jenis operasi tersebut akan dibahas lebih detail dalam artikel ini.

1. Irisan (intersection)

Irisan dari himpunan A dan B adalah sebah himpunan yang setiap elemen nya merupakan bagian dari himpunan A dan himpunan B.

Notasi : A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Diagram Venn untuk A ∩ B seperti gambar berikut:


Daerah yang diarsir merupakan bagian dari daerah A dan 
daerah B.

Jika dua himpunan saling lepas, maka irisan nya adalah 
himpunan kosong, karena tidak ada elemen yang sama didalam 
kedua himpunan tersebut.

Contoh lainnya :
a. Jika A = {3, 6, 9, 12} dan B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, maka A ∩ B = {6, 12}
b. Jika A = {4, 7, 9} dan B = {-2, 5}, maka A ∩ B = ∅. Yang berarti A || B

2. Gabungan (union)
Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.
Notasi : A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Diagram Venn untuk A ∪ B seperti gambar berikut.


Dapat kita perhatikan bahwa gabungan dari himpunan A dengan
himpunan B menjadikan satu kesatuan antara dua buah himpunan.

Jadi, misalkan : 
A = {2, 4, 6} dan B = {1, 3, 5}, maka 
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Contoh lainnya:
a. Jika A = {1, 5, 8} dan B = {7, 10, 15}, maka A ∪ B = {1,5,7,8,10,15}
b. Jika A = {a, b, c} dan B = {d, e, f}, maka A ∪ B = {a,b,c,d,e,f}

3. Selisih (difference)
Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen dari A tetapi bukan elemen dari B. Operasi selesih hanya mengambil bagian yang tidak terdapat pada pasangan himpunan nya.
Notasi : A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }

Diagram Venn untuk A - B ditunjukkan pada gambar berikut.


Perhatikan bahwa bagian yang diarsir hanya elemen-elemen 
khusus yang terdapat pada elemen A saja, dan bukan pada 
elemen B.

Contoh lainnya:
a. Jika A = {1,2,3,…,10} dan B = {1,3,5,7,9}, maka A – B = {2,4,6,8,10} dan B – A = Ø
b. {3, 7, 9} – {3, 6, 7} = {9}
c. {3, 6, 7} – {3, 7, 9} = {6}

4. Komplemen (complement)
Komplemen dari suatu himpunan A terhadap suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan elemen U yang bukan elemen A.
Notasi : Ā = {x | x ∈ U dan x ∉ A}

Operasi komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta U 
adalah sebagai berikut.



Contoh 1:
Misalkan U = {1,2,3,..10}
a. Jika A = {2,4,6,8,10}, maka Ā = {1,3,5,7,9}

Contoh 2:
A = himpunan semua rumah yang berada di Jakarta
B = himpunan semua rumah yang berada di Medan
C = himpunan semua rumah yang dibangun setelah tahun 2016
D = himpunan semua rumah yang nilai jualnya diatas dari 
    Rp 500 juta
E = himpunan semua rumah milik mahasiswa univeristas tertentu

a. Pernyataan "semua rumah milik mahasiswa universitas ini 
   berada di Jakarta atau berada di Medan" dapat dinyatakan 
   dalam notasi himpunan sebagai (E ∩ A) ∪ (E ∩ B) atau
   E ∩ (A ∪ B)

b. Pernyataan "semua rumah yang berada di Jakarta yang 
   dibuat setelah tahun 2016 yang nilai jualnya diatas dari 
   Rp 500 juta" dapat dinyatakan dalam notasi himpunan sebagai
   A ∩ C ∩ D

c. Pernyataan "semua rumah yang nilai jualnya diatas Rp 500
   juta yang berada di luar Jakarta yang bukan milik mahasiswa
   di Universitas tertentu" dapat dinyatakan dalam notasi 
   himpunan sebagai Ā ∩ Ē ∩ D

5. Beda-Setangkup (symmetric difference)
Operasi beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemen nya ada pada himpunan A dan B tetapi tidak pada keduanya. Dengan kata lain, operasi beda setangkup mengambil semua bagian yang berbeda dari kedua himpunan.
Notasi : A ⊕ B = (A ∪ B)– (A ∩ B)

Diagram Venn untuk A ⊕ B adalah sebagai berikut.



Contoh:
a. Jika A = {2, 5, 8} dan B = {2, 4, 6}, maka
   A ⊕ B = {4,5,6,8}
b. A = himpunan segitiga sama kaki
   B = himpunan segitiga sama siku-siku
   A ⊕ B = himpunan segitiga sama kaki yang tidak siku-siku 
  dan segitiga siku-siku yang tidak sama kaki.

6. Perkalian Kartesian (cartesian product)
Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan yang berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B.
Notasi : A x B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B}

Contoh 1:
Misalkan C = {1,2,3}, dan D = {a,b}, maka perkalian kartesian
C dan D adalah C x D = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

Contoh 2:
Misalkan :
A = himpunan makanan = {n = nasi lemak, b = bubur, 
    m = mie rebus, g = gorengan }
B = himpunan minumam = {j = jus jerus, t = teh manis, 
    a = air putih}

Berapa banyak kombinasi makanan dan minuman yang dapat 
dihasilkan dari kedua himpunan diatas? 
= |A x B| = |A|.|B| = 4 . 3 = 12 kombinasi makanan dan 
minuman, yaitu {(n,j),(n,t),(n,a),(b,j),(b,t),(b,a),(m,j),
(m,t),(m,a),(g,j),(g,t),(g,a)}.

Perlu diperhatikan bahwa:
a. Jika A dan B adalah himpunan berhingga, maka: |A x B| = |A| |B| .
b. Susunan (a, b) berbeda dengan (b, a), artinya (a, b) ≠ (b, a).
c. Jika A = Ø atau B = Ø, maka A x B = B x A = Ø.

---

Pustaka:
Munir, R. 2012. Matematika Diskrit. Revisi Kelima. Penerbit Informatika
http://www.catatanrobert.com/himpunan-operasi-terhadap-himpunan/